Was (wer) ist Ультрасферические многочлены - definition

Полиномы Гегенбауэра; Ультрасферические многочлены; Ультрасферические полиномы; Гегенбауэра многочлены

Ультрасферические многочлены

многочлены Гегенбауэра, специальная система многочленов последовательно возрастающих степеней. Для n = 0, 1, 2,... У. м. P_n^λ (х) степени n являются коэффициентами при αⁿ в разложении в степенной ряд функции

У. м. ортогональны (см. Ортогональные многочлены) на отрезке [-1; + 1] относительно веса

. У. м. - частный случай Якоби многочленов (См. Якоби многочлены).

Чебышева многочлены

ДВЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ

Многочлен Чебышева; Многочлен Чебышёва; Полином Чебышева; Полином Чебышёва; Полиномы Чебышева; Полиномы Чебышёва; Чебышева многочлены; Многочлены Чебышева

1) Ч. м. 1-го рода - специальная система многочленов последовательно возрастающих степеней. Для n = 0, 1, 2,... определяются формулой:

В частности, Т₀ = 1; T₁ = х; T₂ = 2x² ―1; T₃ = 4x³ ― 3x; T₄ = 8x⁴ ― 8x² + 1. Ч. м. T_n(x) ортогональны (см. Ортогональные многочлены) на отрезке [-1; + 1] относительно веса (1 - x²)^―1/2. Дифференциальное уравнение:

(1 - x²) у" - ху + n²у = 0.

Рекуррентная формула: T_n+₁(x) = 2xTn (х) - T_n_―1(x).

Ч. м. 1-го рода являются частным случаем Якоби многочленов (См. Якоби многочлены) P_n^(αβ)(x):

2) Ч. м. 2-го рода U_n(x) - ортогональная на отрезке [-1; + 1] относительно веса (1 -x²)^1/2 система многочленов, связанная с Ч. м. 1-го рода, например рекуррентным соотношением:

(1 - x²) U_n_―1(х) = xTn (х) ― T_n+₁(х).

Лит.: Чебышев П. Л., Полн. собр. соч., т. 2-3, М.-Л., 1947-48; Сеге Г., Ортогональные многочлены, пер. с англ., М., 1962.

ЧЕБЫШЕВА МНОГОЧЛЕНЫ

ДВЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ

специальная система многочленов, ортогональных с весом (Чебышева многочлен 1-го рода) или с весом (Чебышева многочлен 2-го рода) на отрезке [-1; 1] (см. Ортогональная система функций). Введены в 1854 П. Л. Чебышевым.

Wikipedia

Многочлены Гегенбауэра

Многочле́ны Гегенба́уэра или ультрасфери́ческие многочле́ны в математике — многочлены, ортогональные на отрезке [−1,1] с весовой функцией $(1-z^{2})^{\alpha -1/2}$ . Они могут быть явным образом представлены как

C_{n}^{(\alpha )}(z)=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }(-1)^{k}{\frac {\Gamma (n-k+\alpha )}{\Gamma (\alpha )k!(n-2k)!}}(2z)^{n-2k},

где $\Gamma (s)$ — гамма-функция, а $\lfloor n/2\rfloor$ обозначает целую часть числа n/2.

Многочлены Гегенбауэра являются обобщением многочленов Лежандра и Чебышёва и являются частным случаем многочленов Якоби. Также многочлены Гегенбауэра связаны с представлением специальной ортогональной группы $SO(n)$ . Они названы в честь австрийского математика Леопольда Гегенбауэра (1849—1903).

https://ru.wikipedia.org/wiki/Многочлены Гегенбауэра